بررسی روش های تحلیلی و تجربی ضربه عرضی روی صفحات كامپوزیتی و مقایسه آنها

بخشی از فهرست مطالب پروژه بررسی روش های تحلیلی و تجربی ضربه عرضی روی صفحات كامپوزیتی و مقایسه آنها                       
                                                               
1  پیش  گفتار

     1-1 مقدمه4
     2-1 كارهای  انجام شده در این پروژه18
2  تئوریهای  صفحه

     1-2 تئوری  تغییر شكل برشی مرتب?  اول(FSDT21
     2-2 تئوری  كلاسیك صفحه((CPT31
     3-2 ارائه یك تئوری جدید33
     4-2 بررسی ضربه در چهار چوب تئوری ورق ارائه شده
             دربخش3 -251
     5-2 تئوری صفح? مرتب? بالاتر HOPT62
     6-2 انتشارامواج هارمونیك 73
     7-2 ارتعاشات آزاد صفحه79

3   مدلهای ضربه
                                          
     1-3 مدل جرم-فنر81
     2-3 مدل بالانس –انرژی84
     3-3 واكنش تیر برنولی دربرابرضربه89
     4-3 ضربه روی صفحه باتكیه گاه ساده براساس تئوری
           كلاسیك صفحه94

     5-3 ضربه روی صفحه با تكیه گاه ساده براساس تئوری تغییر
     شكل برشی مرتب?  اول95                          
 6-3 جواب تقریبی برای ضربه باامواج كنترل شده99
     7-3 تئوری پوسته110
     8-3 اندازه گیری 115
4   خسارت  ضربه با سرعت  كم (DAMGE)

     1-4 تستهای ضربه120  
     2-4 انواع مدل در ضربه با تغییر شكل دائمی باسرعت كم126
     3-4 روشهای تجربی برای تخمین خسارت132
    
5   نتیجه گیری135
                                                                                       
 

مقدمه
ماده كامپوزیت لایه‌ای، شامل لایه‌هایی از حداقل دو ماده متفاوت است كه توسط باندهایی به هم متصل شده‌اند. نتیجه روی هم قرار گرفتن لایه‌ها به منظور تركیب بهترین خواص تك تك آنها برای ایجاد ماده جدیدی است یا موارد استفاده بیشتر. خواصی كه توسط روی هم چیدن لایه‌ها تقویت می‌شوند عبارتند از: استحكام ـ سفتی وزن كم، مقاومت در برابر ضربه و غیره. لایه‌ها می‌توانند غیر ایزوتروپ باشند. و نیز لایه‌ها را می‌توان به نحوی انتخاب نمود كه سفتی و مقاومت موردنیاز در طراحی یك سازه حاصل شود.
ماده كامپوزیت تقویت شده با الیافی  (Fiber-reinforcel composit ) material))  كه مختصراً (FRCM) نامیده می‌شود، شامل الیاف‌هایی در یك ماتریس می‌باشد.اگر الیاف‌ها در یك راستای خاص قرار گیرند، ماده غیر ایزوتروپ خواهد بود، یك ورق كامپوزیت لایه‌ای شامل لایه‌هایی از FRCM است كه در هر لایه، الیاف‌ها در راستایی متفاوت از راستای الیافها در سایر لایه‌ها چیده شده‌اند. این نوع كامپوزیت‌های لایه‌ای می‌توانند به نحوی طراحی شوند تا از نسبت‌های مقاومت به وزن و سختی به وزن بالایی برخوردار باشند. و نیز طراحی می‌تواند به گونه‌ای باشد كه ورق لایه‌ای دارای جهات برتری از مقاومت و سختی تقویت شده باشد. و به این دلایل FRCM، جایگزین مناسبی است به جای مواد سفتی نظیر انواع فلزات در خیلی از كاربردها مانند صنایع‌ هوایی ،خودروسازی و تجهیزات ورزشی.

ضربه به ورق‌های كامپوزیت لایه‌ای:
در بعضی كاربردها، ورق‌های لایه‌ای ساخته شده از FRCM، تحت بار ضربه قرار می‌گیرند. به عنوان مثال لبه جلویی بال هواپیما یا پره یك موتور جت ممكن است به یك شیء خارجی مانند سنگ یا پرنده برخورد نماید. بار ضربه می‌تواند حتی در حین ساخت و یا تعمیر نیز پیش آید و نیروی ضربه به این مواد باعث بوجود آمدن خرابی‌های داخلی كه با چشم غیرمسلح قابل رؤیت نیست شود كه این امر در نهایت باعث تضعیف مقاومت و پایداری سازه خواهد شد. بنابراین مقاومت ورق‌های لایه‌ای در برابر ضربه باید شناخته شده باشد تا بتوان ورق‌هایی طراحی كرد كه مناسب برای عملكرد مطمئن و امن در برابر ضربه باشند. دینامیك ضربه، شامل حركت جسم ضربه زننده، ماده هدف و نیروی حاصل از ضربه بین این دو، می‌تواند به وسیله مدل‌های گوناگون و با روش‌های متفاوت بررسی شود.
در بخش بعدی مروری خواهید داشت بر مطالعات انجام شده توسط دیگر محققان در مورد ضربه به ورق‌های كامپوزیت لایه‌ای،

مروری بر بررسی‌های انجام شده روی ضربه به ورق‌های كامپوزیتی
Hertz نشان داده كه با فشار استاتیكی دو جسم كروی شكل ایزوتروپ بر روی هم، تماس بر روی یك ناحیه دایره‌ای شكل صورت می‌گیرد به نحوی كه توزیع فشار نرمال در این منطقه تماس به صورت توزیع هرتزین می‌باشد [1]. ‌[1] Timoshenko روابطی بین شعاع دایره تماس، فرورفتگی و نیروی نرمال را ارائه نمود كه در آن ارتباط بین نیرو و فرورفتگی به صورت یك رابطه غیرخطی محاسبه شده كه به قانون تماس هرتز موسوم است. Timoshenko همچنین برخورد دو گلوله به هم را مورد بررسی قرار داده است.
[2] cattopadhyay fusn پاسخ ورق‌های غیرایزوتروپ و تحت تنش اولیه را به ضربه یك گلوله در وسط ورق در قالب تئوری تغییر شكل برشی مرتبه اول مورد بررسی قرار داده و نیز ضربه و خیز ورق را توسط حل كردن یك معادله انتگرالی غیرخطی مشابه به معادله‌ای كه در بررسی ضربه روی تیرها ظاهر می‌شود به دست آورده و نیز انرژی منتقل شده از جرم به ورق را در زمان ضربه، محاسبه كرده‌اند. این دو گزارش نموده‌اند كه نقش كششی اولیه بیشتر باعث افزایش ماكزیمم نیروی تماس می‌شود ولی زمان ضربه، خیز ورق و تنش‌ها و انرژی منتقل شده از جرم به ورق در اثر تنش كششی اولیه بیشتر كاهش می‌یابد.
swanson&   [3] Sqianروش‌های مختلفی را دریافتن پاسخ ورق‌های كامپوزیت به ضربه یك گلوله مورد بررسی قرار داده‌اند. یكی از تكنیك‌های مورد بررسی آنان بر پایه استفاده از روش ریلی ـ ریتز هراه با انتگرال‌گیری عددی در زمان بوده و روش دیگر استفاده از تبدیل لاپلاس برروی معادلات دیفرانسیل‌ حاكم بر ورق و خطی‌سازی تغییر شكل محل برخورد می‌باشد. آنان نتایج خود را با نتایج‌ حاصل از آنالیز توسط المان محدود و آزمایشات تجربی مقایسه نموده‌اند كه نتایج ارائه شده توسط این دو محقق نشان دهنده محدوده پارامترهای عددی برای ایجاد یك جواب خوب و دقیق می‌باشد.
[4] swanson & chnistoforon مسئله ضربه را به صورت تحلیل مورد بررسی قرار داده‌اند، روش آنان بر پایه استفاده از سری‌های فوریه برای ورق‌ها بر روی تكیه‌گاه‌های ساده، همراه با استفاده از تبدیل لاپلاس قرار دارد. این دو پژوهشگر نیروی ضربه، جابجایی ورق و تنش كشش نرمال در وسط ورق را به دست آورده‌اند و در تحقیقاتشان، رابطه بین نیرو و فرورفتگی به صورت خطی در نظر گرفته شده است در صورتی كه واقعاً این رابطه غیرخطی می‌باشد. دلیل استفاده ایشان از رابطه خطی این بوده است كه معادله انتگرالی غیرخطی را كه در مسئله ضربه برای حل نیرو با آن مواجه شده‌اند خطی نموده و به صورت تحلیلی حل نمایند. و همچنین سطح تماس را به صورت یك مربع ثابت و توزیع تنش را در این مربع، یكنواخت در نظر گرفته‌اند كه البته این ساده سازی‌ها به علت كوچكی سطح تماس توجیه‌پذیر است.
[5] sun & cheh رفتار یك ورق حاوی تنش اولیه تحت بار ضربه را مورد مطالعه قرار داده‌اند. اینان در بررسی خود از روش المان محدود استفاده كرده‌اند و قانون تماس از آزمایشات تجربی به دست آورده و در برنامه المان محدود خود به كار برده‌اند. آنان با تحلیل نتایج عددی حاصله، حاوی نیروی تماس، جابجایی و كرنش‌های در صفحه، گزارش نموده‌اند كه تنش اولیه كششی باعث افزایش نیروی تماس و كاهش زمان ضربه می‌شود و عكس آن نیز برای تنش اولیه فشاری صادق است. همچنین پاسخ ضربه، تقریباً نسبت مستقیم با سرعت گلوله دارد. گلوله‌های سنگین‌تر، نه تنها نیروی تماس را زیادتر می‌كنند، بلكه زمان تماس را افزایش می‌دهند. جابجایی ورق نیز به وسیله ضربه گلوله‌های سنگین‌تر بیشتر می‌شود و بالاخره، پاسخ به ضربه،‌ نسبت به ابعاد گلوله حساس نمی‌باشد.
[6] Mittal، ورق‌های تحت بار ضربه را مورد مطالعه قرار داده است وی اثرات تغییر شكل در رابطه با برش عرضی را كه ورق‌های ضخیم غیرقابل صرف‌نظر كردن می‌شد، در نظر گرفته و جواب‌های بسته، با استفاده از یك تقویت نه چندان مهم، برای جابجایی و ممان خمشی در نقطه ضربه به دست‌ آورده است. این جواب‌ها، مستقل از شرایط مرزی در لحظات اولیه پدیده ضربه می‌باشند و این بدان معنی است كه وی در بررسی خود، ابعاد ورق را بی‌نهایت در نظر گرفته و از تبدیلات نامحدود فوریه استفاده نموده است، همچنین با استفاده از قانون تماس هرتز، نیروی ضربه را در طول زمان ضربه مورد محاسبه قرار داد. و گزارش نموده است كه اثر برش بر روی جابجایی، كمتر از اثر آن بر روی نیروی ضربه و همان خمش می‌باشد.
[7] Greszczuk پاسخ مواد ایزوتروپ و كامپوزیت را به ضربه گلوله‌ها مورد مطالعه قرار داده است. تحقیق وی به منظور مطالعه پیرامون مكانیزم خرابی در مواد ایزوتروپ و كامپوزیت كه تحت اثر بار ضربه قرار می‌گیرند، می‌باشد و موارد زیر را شامل است:
1ـ مشخص كردن توزیع فشار متغیر با زمان در محل نقطه برخورد.
2ـ مشخص كردن تنش‌های داخلی حاصل از این توزیع فشار در هدف.
3ـ مشخص كردن مددها شكست حاصل از این تنش‌های داخلی در هدف.
در تحقیقات Greszcuzuk، توزیع فشار در زیر یك گلوله ضربه زن، به وسیله تركیب حل دینامیكی مسئله ضربه اجسام با حل استاتیكی برای توزیع فشار بین دو جسم در تماس، مشخص شده است و با داشتن فشار سطحی متغیر با زمان، آنالیز استاتیكی برای به دست آوردن تنش‌های وابسته به زمان، در هدف مورد استفاده قرار گرفته است. و نیز تنش‌های داخل در هدف تشكیل شده از مواد كامپوزیت و ایزوتوپ نسبت به خواص هدف و گلوله، سرعت ضربه و شكل گلوله بررسی شده و از آن برای مشخص كردن سرعت حدی شكست استفاده شده است. در این پژوهش همچنین، منحنی‌هایی برای نشان دادن ارتباط بین خواص ماده، هدف و سرعت حدی برای شروع تخریب ارائه شده است.
[8] lagace & carins، ورق‌های كامپوزیت ضخیم تحت اثر بار ضربه جانبی را مورد بررسی قرار داده و یك حل تحلیلی برای ورق ایزتوتروپ ارائه نموده‌اند. در روش حل از یك تابع تنش برای بدست آوردن تنش‌ها و كرنش‌های حاصل از بارگذاری به وسیله یك كره صلب، استفاده شده است. نامبردگان نتایج را به صورت نمودارهایی از نیرو در مقابل فرورفتگی موضعی كه می‌تواند همراه با تئوری شكست، شروع شكست را در موضع ضربه پیش‌بینی كند، نشان داده‌اند مدل به كار رفته در این تحقیق در برگیرنده تمام هندسه‌ها و خواص غیرخطی مواد كه در حین تغییر شكل‌ها و بارهای بزرگ دیده می‌شوند نیست ولی می‌تواند اطلاعات خوبی برای پیش‌بینی مرز شكست ارائه دهند.
[9] lee & Reismann پاسخ دینامیكی یك ورق مستطیل شكل را در چهارچوب یك تئوری ورق كه اثرات اینرسی دوران و تغییر شكل برش را در نظر می‌گیرد، بررسی كرده‌اند. این تئوری در واقع توسط [10] Mindlin به دست آمده است. در تحقیق این دو پژوهشگر، یك جواب عمومی برای حركت آزاد و اجباری ورق مستطیلی شكل در چهارچوب تئوری Mindlin ارائه شده است. همچنین پاسخ یك ورق مستطیلی تحت اثر ناگهانی توزیع فشار سطحی یكنواخت بررسی گردیده است و نتایج بدست آمده با تئوری كلاسیك ورق برای ارتعاش آزاد و اجباری مقایسه شده است. این دو در تحقیق خود از آنالیز مودال برای بررسی ارتعاشات اجباری استفاده نموده‌اند. به این ترتیب كه ابتدا ارتعاش آزاد را بررسی نموده و فركانس‌های ارتعاش و شكل مدها را بدست آورده و سپس با استفاده از یك رابطه تعامد مودها، پاسخ ارتعاش اجباری را به صورت تركیبی از پاسخ ارتعاش آزاد، در نظر گرفته و مسئله حل و گزارش نموده‌اند كه با افزایش ضخامت ورق، تفاوت بین پاسخ‌های یافته شده توسط تئوری كلاسیك و تئوری Mindlin زیاد می‌شود. البته در این تحقیق، اندازه فشار سطحی یكنواخت و دانسته فرض شده است و این فشار را توسط یك تابعHeaviside در  معادلات اعمال نموده‌اند.
[11] Dobyns، ورق‌های ارتوتروپ بر روی تكیه‌های ساده را تحت بار استاتیكی و دینامیكی مورد مطالعه قرار داده است. در این تحقیق از معادلات ورق كه توسط pagano & whitney به دست آمده و حاوی اثرات تغییر شكل برشی می‌باشند، استفاده شده است. بارگذاری‌های متغیربا زمان كه در این تحقیق بررسی شده‌اند شامل بارهای پالسی سینوسی، مستطیل و مثلثی می‌باشند. این پالس‌ها به صورت بار یكنواخت بر روی ورق، بار نقطه‌ای و یا بار یكنواختی بر روی یك مساحت مستطیل كوچك و بار كسینوسی بر روی یك مساحت مستطیلی شكل در نظر گرفته شده‌اند، وی در بررسی‌های خود از روش آنالیز مودال برای یافتن پاسخ ارتعاشات اجباری استفاده نموده است.
[13] saxena & chatto pedhyay اثرات تركیبی تغییر شكل برشی و فرو رفتگی دائمی را بر روی پاسخ ورق‌های به بار ضربه، بررسی نموده‌اند. آنان از تئوری Mindlin استفاده و از اثرات اینرسی دورانی صرفنظر نموده‌اند. در نتایج ارائه شده، پاسخ‌های تئوری كلاسیك، تئوری midlin، تئوری كلاسیك با فرورفتگی‌ دائمی و تئوری midline با فرورفتگی دائمی، با هم مقایسه شده‌اند. آنچه كه مشخص است این است كه نیروی تماسی و جابجایی ورق، با در نظر گرفتن فرورفتگی دائمی، نسبت به فرورفتگی الاستیك كاهش می‌یابند.
 [14] sankar & sunدر بررسی ضربه عرضی، از روش‌ جالبی برای حل یك معادله انتگرالی غیرخطی كه همواره در بررسی مسائل ضربه به وجود می‌آید استفاده نموده‌اند. آنان در حل این معادله انتگرالی كه تعیین كننده پروفیل نیرو است، زمان را به t?‌های كوچك تقسیم كرد. و در هر t?، تغییرات نیرو را به صورت خطی در نظر گرفته‌اند. سپس با این تابع تقریبی، معادله انتگرالی را حل نموده‌اند. نتیجه كار این پژوهشگر، تعیین پروفیل نیرو برای مسئله ضربه بر روی تیر می‌باشد. همچنین اثرات تقسیم‌بندی روی زمان را نیز بررسی و به صورت نمودارهایی نشان داده‌اند.
[15] Greene & Reismann ورق‌های دایره‌ای شكل، تحت بار با تقارن محوری، بر روی سطحشان را بررسی نموده‌اند. بار روی ورق، می‌تواند به نحو دلخواه توزیع و وابسته به زمان باشد. شرایط مرزی بررسی شده یك مجموعه كامل اثرات تغییر شكل برشی و لختی دورانی است، به دست آمده است. در روش حل از یك روش مود نرمال استفاده شده كه در آن جواب دینامیكی به صورت یك بسط تابع ویژه، حول جواب استاتیكی نشان داده شده است و پاسخ یك ورق كه از اطراف گیره شده و تحت اثر ناگهانی یك بار جانبی كه به صورت یكنواخت بر روی مساحت دایره‌ای توزیع شده، به دست آمده است.
[16] choi & chang تخریب حاصل از ضربه به ورق‌های كامپوزیت لایه‌ای گرافیت / اپوكسی را كه به وسیله برخورد یك جسم خارجی با سرعت كم بوجود می‌آید بررسی نموده و مدلی برای پیش‌بینی شروع و پیشرفت شکست به صورت تابعی از خواص مواد، ترتیب، چیدن لایه‌ها و جرم جسم ضربه زننده را به دست آورده‌اند این مدل شامل آنالیز تنش و آنالیز شكست بوده و از روش المان محدود بر مبنای تئوری الاستیسیته خطی سه بعدی، برای محاسبه تنش‌ها و كرنش‌ها در ورق كامپوزیت استفاده شده است.
[19] Amateau & harasek & strait، اثر غوطه‌وری در آب دریا را روی مقاومت مواد كامیوزیت در برابر ضربه به مورد مطالعه قرار داده‌اند ماده كامپوزیت به كار رفته در آزمایشات از نوع شیشه / اپوكسی می‌باشد.
[20] Jun & kim ورق‌های ساندویچی كامپوزیت ساخته شده از وجوه گرافیت / اپوكسی و هسته‌های لانه زنبوری از جنس Nomex را تحت بار ضربه مورد مطالعه قرار داده‌اند و اندازه و شكل جدا شدن لایه‌ها از هم را تحت بار ضربه به صورت تجربی اندازه‌گیری نموده‌اند.
[21] simmods & Names ورق‌های ساندویچی كامپوزیت ساخته شده از وجوه فایبرگلاس/اپوكس و هسته فم را تحت بار ضربه، از طریق تركیب روش‌های محاسباتی و آزمایشگاهی بررسی نموده و نتایج حاصل برای پروفیل نیرو بر حسب زمان را با نتایج  آزمایشگاهی مقایسه كرده‌اند همچنین سختی ورق قبل و بعد از برخورد را با هم مقایسه نموده‌اند تا اثر شكست بر روی رفتار آینده ورق مشخص شود.
[22] larve & Boghanovich ضربه یك جسم صلب به ورق كامپوزیت لایه‌ای مستطیلی شكل را مورد بررسی قرار داده و جابجایی‌ها، تغییر شكل‌ها و تنش‌ها را محاسبه كرده‌اند. ورق‌های مورد بررسی این دو محقق از جنس گرافیت / اپوكسی و چسب پلیمری / sorganic glas بوده و تئوری استفاده شده، تئوری لایه‌ای می‌باشد. نتایج نیروی تماس برای اندازه‌های متفاوت جرم و سرعت یك گلوله در انرژی ضربه معین ارائه شده. و آنالیز ناحیه شكست حاصل از ضربه در ورق ارتوتروپ سه لایه و پنج لایه گرافیت / اپوكسی برای ضربه با انرژی 5/2-2 ژول و تركیبات سرعت و جرم متفاوت انجام شده.
[23] chang of wang & choi اثر ترتیب چیدن لایه‌ها، ضخامت و جرم جسم ضربه زننده را بر روی تخریب حاصل از ضربه با سرعت كم در ورق‌های لایه‌ای گرافیت / اپوكسی بررسی نموده‌اند.
[24] Fann & Hung & lee ورق‌های ساندویچی كامپوزیت را تحت بار ضربه مطالعه نموده‌اند. این سه محقق، ورق ساندویچی را توسط دو ورق mindlin جداگانه مدل نموده‌اند و فرض كرده‌اند كه در هسته برش عرضی و سختی نرمال وجود داشته است. این مدل اجازه بررسی تغییر شكل نسبی دو وجه، تحت بار متمركز را می‌دهد.
اهمیت این نكته از آن رو است كه وجه تحت بار عرضی رفتاری متفاوت از وجه دیگر دارد. این دو از روش المان محدود برای تحلیل ضربه به روی ورق ساندویچی ساخته شده از وجوه گرافیك / اپوكسی و هسته صلب فم مقایسه كرده و گزارش نموده‌اند كه مدل به كار رفته می‌تواند رفتار دینامیكی ورق ساندویچی كامپوزیت را نسبت به ضربه با سرعت كم به نحو مطلوب توضیح دهد. این پژوهشگران همچنین اثر سرعت و جرم جسم ضربه زننده را بررسی نموده‌اند.
[25] shyu & wu ورق‌های كامپوزیت تحت بار ضربه كره‌های صلب با سرعت كم را بررسی و گزارش نموده‌اند، كه پدیده تماس در مورد فرورفتگی‌های كوچك و بزرگ متفاوت می‌باشد. و این به دلیل ایجاد چیدن لایه‌های دارای اثر جزئی بر روی رابطه نیرو و فرورفتگی می‌باشد. و بعد از مرحله فرورفتگی اولیه، تخریب اتفاق می‌افتد و نیز اندازه ناحیه ورقه ورقه شدن لایه‌ها متناسب با بار اعمالی و تعداد سیكل‌های بارگذاری می‌باشد.
[26] yen & wu توسط روشی كه از تئوری الاستیسیته غیر ایزوتروپیك سه بعدی استخراج شده، تماس بین یك ورق لایه‌ای كامپوزیت و یك كره صلب را بررسی نموده و پاسخ ورق و رابطه بین نیرو و فرورفتگی را به دست آورده‌اند. و رابطه عالی بین نتایج تئوری و اطلاعات آزمایشگاهی را گزارش نموده‌اند. این دو بیان نموده‌اند كه رابطه نیرو و فرورفتگی تقریباً متناسب با مدول یانگ خارج از صفحه می‌باشد و توسط ضخامت ورق تحت تأثیر قرار می‌گیرد و اثر تغییرات مدول‌های یانگ در صفحه، مدول‌های برشی و ترتیب چیدن لایه‌ها در فرورفتگی‌های كوچك مهم نمی‌باشد. این دو محقق، بررسی خود را بر روی ورق‌های كامپوزیت لایه‌ای ساخته شده از لایه‌های ارتوتروپ قرار داده‌اند.

معرفی چند تئوری ورق:
دو تئوری ورق كه به صورت گسترده مورد استفاده قرار می‌گیرند عبارتند از تئوری كلاسیك ورق و تئوری تغییر شكل برش مرتبه اول. در تئوری كلاسیك ورق فرض بر این است كه جابجایی در راستای عمود بر سطح ورق و در ضخامت ورق ثابت می‌باشد و خطوط عمود بر سطح میانی ورق بعد از اعمال بار، همچنان به صورت خطوط عمود بر سطح میانی باقی می‌مانند. ولی در فرض اولیه تئوری تغییر شكل برش مرتبه اول گرچه جابجایی در راستای عمود بر سطح ورق در ضخامت ورق ثابت است و خطوط عمود بر سطح میانی ورق بعد از اعمال بار، همچنان به صورت خطی باقی می‌ماند اما لزوماً بر سطح میانی عمود نمی‌باشد. در این دو تئوری ورق فرض اولیه بر روی جابجایی‌ها است. نوع موادی كه ورق از آن‌ها ساخته شده است و یا اینكه ورق ایزوتروپ است یا یك ورق كامپوزیت و اگر كامپوزیت است از چند لایه و با چه مشخصاتی تشكیل شده، در فرض اولیه بر روی جابجایی‌ها مطرح نمی‌باشد.
معادلات حركت ورق، در حالت كلی با استفاده از روابط سه بعدی الاستیسته خطی یا با استفاده از اصل هامیلتون به دست می‌آیند و بسته به این كه ورق ایزوتروپ است یا كامپوزیت می‌توان معادلات حركت را بر حسب ضرایب موجود در روابط بین مؤلفه‌های تنش و كرنش مواد به كار رفته در ورق بازنویسی و ساده نمود. نمونه این امر در مورد تئوری تغییر شكل برشی مرتبه اول در بخش مربوطه توضیح داده شده كه چگونه معادلات حركت برای ورق كامپوزیت لایه‌ای ساخته شده از لایه‌های ارتوتروپ تحت این تئوری به دست آمده‌اند. برخلاف تئوری كلاسیك ورق كه تنش‌های برش عرضی صفر فرض می‌شوند، در تئوری تغییر شكل برش مرتبه اول، این تنش‌ها در ضخامت ورق مقدار ثابتی است و در هر دو تئوری كرنش عرضی نرمال و تنش عرضی نرمال صفر فرض می‌شود.